Diyarbakır’ın Sur ilçesine bağlı Ferit Köşk Mahallesi’nde yaşayan Veysi Çevik, 14 yaşındayken elektrik akımına kapılması sonucu sol gözünü kaybetti. Bu engel onun futbol hayallerini yarıda bıraktı. Ancak Çevik, engelliler futsal takımlarında oynayarak futbol sevgisini sürdürdü.
2017 yılında dünyaya gelen oğluna Beşiktaş’ın eski futbolcusu Ricardo Quaresma’ya olan hayranlığından dolayı Quaresma Azad ismini veren Çevik, 2020’de doğan kızına İngiliz şarkıcı Anne Marie’nin ismini verdi. 2022’de de nüfus müdürlüğünün duyurusu üzerine ismini değiştirmek isteyen Veysi Çevik, kendisini Beşiktaşlı futbolcu Rachid Ghezzal, eşini ise o dönem Beşiktaş’ta oynayan Anderson Talisca olarak değiştirmek istedi ancak başvurusu kabul edilmedi.
22 Nisan’da doğan kızına Fenerbahçeli milli voleybolcu Melissa Teresa Vargas’ın ismini veren Çevik, “Çocuklarıma sporcu ve sanatçı isimleri koyuyorum çünkü ben profesyonel, büyük bir sporcu olamadım. İstedim ki bari çocuklarım, isimleri gibi profesyonel olsun” dedi.
Çocuklarına sporcu isimleri verirken geleceğe dair hayaller kuran Veysi Çevik, “Voleybolcu Melissa Teresa Vargas’ı çok seviyorum. Bugün voleybolda Melissa Vargas’ı sevmeyen bir insanı tanımam. Onun gibi bir sporcu zor bulunur. O yüzden onu çok seviyorum. Adını, başarısından dolayı da yeni doğan kızıma verdim. Kızımın, Vargas gibi başarılı bir voleybolcu olmasını çok isterim. 11 çocuk daha yapmayı düşünüyorum. Ben çocuk çok seviyorum” şeklinde konuştu.
